Prueba

 La factorización de trinomios es uno de los temas más importantes del álgebra. Permite simplificar expresiones, resolver ecuaciones cuadráticas y entender la estructura de los polinomios. En este artículo aprenderás a factorizar trinomios paso a paso, con explicaciones claras y ejemplos completamente desarrollados. También encontrarás ejercicios con soluciones para practicar.

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1. ¿Qué es un trinomio?

Un trinomio cuadrático es una expresión de tres términos con la forma:

ax^2 + bx + c

donde a, b y c son números reales y a no puede ser cero.

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2. Caso A: Trinomio con a = 1

Este es el caso más sencillo. La expresión tiene la forma:

x^2 + bx + c

Para factorizar, debemos encontrar dos números m y n tales que:

1. m * n = c

2. m + n = b

Cuando encontramos esos números, el trinomio se factoriza como:

(x + m)(x + n)

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Ejemplo A1

Factoriza:
x^2 + 7x + 12

Los números que multiplican 12 y suman 7 son:
3 y 4

Resultado:
(x + 3)(x + 4)

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Ejemplo A2 (con signos negativos)

Factoriza:
x^2 - 5x + 6

Los números que multiplican 6 y suman -5 son:
-2 y -3

Resultado:
(x - 2)(x - 3)

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3. Caso B: Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto aparece cuando el primer y último término son cuadrados exactos, y el término de en medio es el doble del producto de sus raíces.

Un trinomio cuadrado perfecto tiene esta estructura:

x^2 + 2ax + a^2

y se factoriza como:

(x + a)^2

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Ejemplo B1

Factoriza:
x^2 + 10x + 25

Observamos:

10 es el doble de 5
25 es 5^2

Resultado:
(x + 5)^2

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4. Caso C: Trinomio general con a ≠ 1

Cuando el trinomio tiene la forma:

ax^2 + bx + c

y a no es igual a 1, usamos el método AC o método por descomposición de términos.

Pasos del método AC:

1. Multiplica a * c

2. Encuentra dos números p y q tales que:

   • p * q = a * c

   • p + q = b

3. Reescribe el término bx como px + qx

4. Agrupa términos en dos bloques

5. Factoriza cada bloque

6. Saca el factor común final

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Ejemplo C1

Factoriza:
2x^2 + 7x + 3

Paso 1: ac = 2 * 3 = 6
Paso 2: números que multiplican 6 y suman 7 → 6 y 1
Paso 3: 2x^2 + 6x + x + 3
Paso 4: (2x^2 + 6x) + (x + 3)
Paso 5: 2x(x + 3) + 1(x + 3)
Paso 6: (2x + 1)(x + 3)

Resultado:
(2x + 1)(x + 3)

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Ejemplo C2

Factoriza:
3x^2 + 11x + 6

ac = 3 * 6 = 18
Números que multiplican 18 y suman 11 → 9 y 2
Reescribir: 3x^2 + 9x + 2x + 6
Agrupar: (3x^2 + 9x) + (2x + 6)
Factorizar: 3x(x + 3) + 2(x + 3)
Resultado final:
(3x + 2)(x + 3)

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5. Método opcional: Método de la caja o "box method"

Consiste en llenar un cuadro de 2x2 con:

• ax^2 en la primera casilla

• c en la casilla opuesta

• dos términos que sumen bx en las casillas restantes

Después se factoriza por filas y columnas.
Este método es útil para estudiantes visuales.

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6. Ejercicios para practicar

Factoriza los siguientes trinomios:

1. x^2 + 5x + 6

2. x^2 - 4x - 12

3. 3x^2 + 11x + 6

4. x^2 + 2x + 1

5. 6x^2 - x - 2

6. 4x^2 + 4x + 1

7. 5x^2 - 13x + 6

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7. Soluciones

1. (x + 2)(x + 3)

2. (x - 6)(x + 2)

3. (3x + 2)(x + 3)

4. (x + 1)^2

5. (3x - 2)(2x + 1)

6. (2x + 1)^2

7. (5x - 3)(x - 2)

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8. Consejos finales para factorizar trinomios

• Siempre revisa si existe factor común antes de empezar.

• Cuando el producto ac sea grande, lista pares de divisores.

• Verifica tu resultado multiplicando los factores.

• El orden correcto es: factor común → trinomio → cuadrado perfecto → AC.