Ejercicio Resuelto de Función Lineal: Pendiente, Ordenada al Origen y Ecuación de la Recta

La funcion lineal se representa en una grafica como una linea recta. Esta funcion se puede escribir de la siguiente forma;

respaldo

En donde (m) y (b) representan a dos constantes y (x) a una variable. M es la pendiente o inclinacion de la recta y b es el punto de interseccion de esta recta con el eje de las ordenadas o eje (y).

En el plano cartesiano, la ecuacion de una linea recta describe una linea con inclinacion 1/2 y que intercepta al eje de las y en 7/2.

Ejercicio resuelto: función lineal en el plano cartesiano

Ejemplo completo 

Ejercicio

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–1, 3) y B(2, 9). Luego interpreta la pendiente, la ordenada al origen y explica cómo se comporta la recta en el plano cartesiano.

1. Cálculo de la pendiente (m)

Usamos la fórmula general para la pendiente:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Identificamos los datos:

• x₁ = −1, y₁ = 3
• x₂ = 2, y₂ = 9

Ahora sustituimos:

m = (9 − 3) / (2 − (−1)) = 6 / 3 = 2

Interpretación: la recta aumenta 2 unidades en y por cada 1 unidad que avanza en x. Es una recta creciente.

2. Cálculo de la ordenada al origen (b)

La forma general es y = m x + b. Ya sabemos que m = 2. Sustituimos cualquiera de los dos puntos; usemos A(−1, 3):

3 = 2(−1) + b → 3 = −2 + b → b = 3 + 2 = 5

La ecuación de la función lineal queda:

y = 2x + 5

3. Tabla de valores

Para comprender mejor la recta, generamos algunos puntos sustituyendo valores de x en la ecuación:

x	y = 2x + 5
-2	1
-1	3
0	5
1	7
2	9

Puntos confirmados: A(−1, 3) y B(2, 9) aparecen en la tabla, lo cual verifica nuestra ecuación.

4. Interpretación geométrica 

La pendiente positiva indica que la recta sube hacia la derecha. Como m = 2, por cada paso horizontal de 1 unidad, la recta asciende 2 unidades en vertical.

La ordenada al origen (b = 5) significa que la recta cruza el eje Y en el punto (0, 5).

Visualizándolo sin dibujar: si partimos del punto (0, 5) y avanzamos 1 unidad hacia la derecha, subimos 2 unidades y llegamos a (1, 7). Si avanzamos 2 unidades, subimos 4 y llegamos a (2, 9). Y si retrocedemos 1 en x, bajamos 2 en y, pasando por (−1, 3). Así se forma mentalmente la línea.

5. Verificación directa

Comprobaremos que la ecuación y = 2x + 5 cumple exactamente con los puntos dados:

• Para A(−1, 3): 2(−1) + 5 = −2 + 5 = 3 ✓
• Para B(2, 9): 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9 ✓

Como ambos puntos satisfacen la ecuación, la solución es correcta.

6. Resultado final

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(−1, 3) y B(2, 9) es:

y = 2x + 5

La pendiente es 2, la recta es creciente, pasa por el eje Y en (0, 5) y cada avance de 1 unidad en x incrementa el valor de y en 2 unidades.

Conclusión

Este ejercicio muestra cómo obtener la ecuación de una función lineal a partir de dos puntos, cómo interpretar la pendiente y la ordenada al origen, y cómo imaginar la recta en el plano cartesiano únicamente mediante razonamiento textual.

División entre un número entero y un número decimal usando radicación – Explicación sencilla y ejemplos

División entre un número entero y un número decimal usando radicación

En algunos ejercicios matemáticos, la división puede mostrarse con el número decimal como divisor y el número entero dentro del símbolo de radicación. Este formato se escribe así:

(decimal) √(entero)

Aun con esta presentación, el procedimiento para dividir es el mismo: eliminar los decimales del divisor para convertirlo en un número entero y realizar la división normalmente.

Ejemplo 1

2.5 √36

Primero evaluamos la raíz:

√36 = 6

El divisor 2.5 tiene un decimal, así que multiplicamos ambos valores por 10:

• 6 × 10 = 60
• 2.5 × 10 = 25

Realizamos la división:

60 ÷ 25 = 2.4

Ejemplo 2

0.4 √81

Evaluamos la raíz:

√81 = 9

El divisor 0.4 tiene un decimal, así que multiplicamos ambos por 10:

• 9 × 10 = 90
• 0.4 × 10 = 4

Dividimos:

90 ÷ 4 = 22.5

Conclusión

Para dividir cuando el decimal aparece como divisor junto al símbolo de radicación, basta con convertir el divisor en entero y luego efectuar la división. El proceso funciona de la misma manera que en cualquier división entre un entero y un decimal.

División de un número decimal entre un entero – Explicación completa y ejemplos paso a paso

División de un número decimal entre un entero

En esta guía completa aprenderás cómo dividir un número decimal entre un número entero de forma clara y práctica. Veremos varios métodos (mover la coma, división larga), ejemplos paso a paso, cómo manejar restos, decimales periódicos y reglas de redondeo. El HTML está en formato limpio para pegar directamente en Blogger.

Conceptos previos

• Número decimal: número que tiene parte entera y parte fraccionaria separadas por una coma (por ejemplo, 12,345).
• Entero: número sin parte decimal (por ejemplo, 3, 10, 125).
• División: operación que reparte una cantidad (dividendo) en partes iguales indicadas por el divisor.

Dos métodos principales

Hay dos métodos prácticos para dividir un decimal entre un entero:

1. Método 1 – División directa (división larga) colocando la coma en el cociente.
2. Método 2 – Convertir el decimal a entero moviendo la coma y luego dividir.

Método 1 — División larga (colocar la coma en el cociente)

Este método se usa directamente como una división normal. Los pasos son:

1. Escribe el dividendo (el número decimal) y el divisor (el entero).
2. Comienza la división con la parte entera como en una división normal.
3. Cuando llegues al final de la parte entera y necesites bajar la parte decimal, coloca la coma en el cociente en el momento en que "bajas" la coma del dividendo.
4. Continúa dividiendo con los dígitos decimales; si es necesario, agrega ceros a la derecha del dividendo para obtener más cifras decimales en el cociente.

Ejemplo 1 (división larga)

Dividir 14,75 entre 5.

1. 14 ÷ 5 = 2 (porque 5·2 = 10). Resto 4.
2. Baja la coma y el siguiente dígito: ahora trabajamos con 4,75 → bajamos la coma y colocamos la coma en el cociente: 2,
3. Convertimos el resto 4 en 47 (bajando el 7): 47 ÷ 5 = 9 (5·9 = 45). Resto 2.
4. Bajamos el siguiente dígito (5): 25 ÷ 5 = 5 (5·5 = 25). Resto 0.

Resultado: 14,75 ÷ 5 = 2,95

Método 2 — Mover la coma para convertir a entero

Si el dividendo tiene decimales, puedes eliminar la coma multiplicando tanto dividendo como divisor por la misma potencia de 10. Este método es útil cuando el divisor también fuera decimal (aquí el divisor es entero, pero la técnica sigue siendo válida y a veces más clara).

1. Cuenta cuántas cifras hay después de la coma en el dividendo.
2. Multiplica dividendo y divisor por 10ⁿ (n = número de cifras decimales) para mover la coma del dividendo a la derecha.
3. Realiza la división con enteros resultantes.
4. El cociente será equivalente al original.

Ejemplo 2 (mover la coma)

Dividir 3,6 entre 3.

1. El dividendo 3,6 tiene 1 cifra decimal. Multiplicamos por 10: 3,6·10 = 36. También multiplicamos el divisor: 3·10 = 30 (aunque si el divisor ya es entero se puede simplemente dividir 36 entre 3·10 = 30, esto es redundante; lo común cuando el divisor es entero es multiplicar solo el dividendo si quieres convertir a entero y seguir dividiendo por el mismo divisor).
2. Pero aquí, como el divisor es entero (3), es más sencillo: 3,6 ÷ 3 = (36 ÷ 10) ÷ 3 = 36 ÷ 30 = 1,2. O directamente: 3,6 ÷ 3 = 1,2.

Resultado: 3,6 ÷ 3 = 1,2

Tratamiento de restos y decimales periódicos

Durante la división puede quedar un resto distinto de cero. Para obtener más cifras decimales en el cociente se añaden ceros al final del dividendo (es decir, se "bajan" ceros) y se sigue dividiendo. Esto puede producir:

• Terminar con resto cero: división exacta (ej.: 14,75 ÷ 5 = 2,95).
• Decimal finito: el cociente tiene un número limitado de cifras decimales.
• Decimal periódico: el cociente tiene un patrón repetitivo (ej.: 1 ÷ 3 = 0,333...).

Ejemplo 3 — Decimal periódico

Dividir 2 entre 3 (2,0 ÷ 3)

1. 2 ÷ 3 = 0 → resto 2. Colocamos coma en el cociente y bajamos un 0 → 20.
2. 20 ÷ 3 = 6 → resto 2. Bajamos otro 0 → 20.
3. Repetimos: siempre obtenemos 6 y resto 2. El cociente es 0,666..., es decir 0,(6) periódico.

Resultado: 2 ÷ 3 = 0,666... = 0,(6)

Redondeo del resultado

Si necesitas un resultado con un número fijo de decimales, aplica las reglas de redondeo al corte deseado:

• Observa el dígito siguiente al corte.
• Si ese dígito es 0–4 → se deja igual (se trunca hacia abajo).
• Si es 5–9 → se incrementa el último dígito permitido en 1 (se redondea hacia arriba).

Ejemplo 4 — Redondeo

Dividir 7,2 ÷ 4 = 1,8 exacto. Si fuera 7,25 ÷ 4 = 1,8125, redondeado a 2 decimales → 1,81 (porque el tercer decimal es 2).

Método práctico rápido (regla fácil)

Si el divisor es un entero sencillo y el dividendo tiene pocos decimales, a menudo el método más rápido es:

1. Realizar la división usando la parte entera del dividendo.
2. Al llegar a la parte decimal, colocar la coma en el cociente y continuar con la división usando los dígitos decimales.
3. Si necesitas más decimales, añade ceros al final del dividendo.

Ejemplos variados resueltos

Ejemplo 5

48,6 ÷ 6

1. 48 ÷ 6 = 8 → resto 0.
2. Bajamos la coma y el 6 → 6 ÷ 6 = 1 → resto 0.

Resultado: 48,6 ÷ 6 = 8,1

Ejemplo 6

5,432 ÷ 4

1. 5 ÷ 4 = 1 → resto 1.
2. Bajamos el 4 → 14 ÷ 4 = 3 → resto 2.
3. Colocamos la coma en el cociente y bajamos el 3 → 23 ÷ 4 = 5 → resto 3.
4. Bajamos el 2 → 32 ÷ 4 = 8 → resto 0.

Resultado: 5,432 ÷ 4 = 1,358

Ejemplo 7 — División con resto y extensión

7,25 ÷ 12

1. 7 ÷ 12 = 0 → resto 7. Colocamos coma en el cociente.
2. Bajamos 2 → 72 ÷ 12 = 6 → resto 0.
3. Bajamos 5 → 5 ÷ 12 = 0 → resto 5. Añadimos un 0 (50) para más decimales → 50 ÷ 12 = 4 → resto 2.
4. Si queremos 3 decimales, bajamos otro 0 → 20 ÷ 12 = 1 → resto 8. Resultado aproximado 0,604.

Resultado: 7,25 ÷ 12 ≈ 0,604 (si se redondea a 3 decimales)

Consejos y buenas prácticas

• Coloca la coma del cociente en cuanto bajes la coma del dividendo.
• Si quieres un resultado exacto y aparece un periodo repetido, identifícalo (por ejemplo, 1/3 = 0,(3)).
• Para comprobar: multiplica el cociente por el divisor; si obtienes el dividendo original, la división es correcta (considerando el redondeo cuando aplique).
• Si el divisor es potencia de 10 (10, 100, 1000...), basta con mover la coma del dividendo hacia la izquierda tantas posiciones como ceros tenga el divisor.

Ejercicios de práctica (con respuestas)

1. 12,48 ÷ 3 = ? → Respuesta: 4,16
2. 0,75 ÷ 5 = ? → Respuesta: 0,15
3. 9,999 ÷ 9 = ? → Respuesta: 1,111
4. 2,5 ÷ 4 = ? → Respuesta: 0,625
5. 11,11 ÷ 7 ≈ ? (3 decimales) → Respuesta: 1,587

Resumen

Dividir un número decimal entre un entero es una operación sencilla si se sigue un método ordenado: usar la división larga colocando la coma en el cociente, o convertir el dividendo a entero moviendo la coma y seguir con la división. Manejar restos, ceros añadidos y redondeos te permitirá obtener el nivel de precisión que necesites.

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Multiplicación de números decimales: guía completa, ejemplos y ejercicios resueltos

Multiplicación de números decimales: guía completa, ejemplos y ejercicios resueltos

Introducción. Un número decimal expresa cantidades que no son enteras mediante una parte entera y una parte fraccionaria separadas por un punto decimal. Aprender a multiplicar decimales es fundamental para matemáticas, finanzas y ciencias.

1. Conceptos básicos

Ejemplo de decimal: 3.75 (tres enteros y setenta y cinco centésimas). La posición de cada dígito a la derecha del punto decimal indica fracciones de potencia de diez: décimas, centésimas, milésimas, etc.

2. Método estándar para multiplicar decimales (paso a paso)

1. Ignora temporalmente los puntos decimales y multiplica los números como si fueran enteros.
2. Cuenta cuántos lugares decimales tiene cada número.
3. La respuesta final debe tener tantos lugares decimales como la suma de los lugares decimales de los factores.
4. Coloca el punto decimal en el resultado según ese total de lugares. Si falta ceros a la izquierda, agrégalos.

Ejemplo 1

Multiplicar 3.2 × 1.25

1. Ignoramos puntos: 32 × 125 = 4000
2. Decimales: 3.2 tiene 1 decimal; 1.25 tiene 2 decimales → total 3 decimales
3. Resultado con 3 decimales: 4.000 → 4.000 = 4

3. Multiplicar por potencias de 10

Multiplicar por 10, 100, 1000... mueve el punto decimal hacia la derecha tantas posiciones como ceros tenga la potencia de 10.

• 2.34 × 10 = 23.4
• 2.34 × 100 = 234
• 0.56 × 1000 = 560

4. Método usando fracciones

Convierte el decimal a fracción, multiplica y simplifica. Útil para entender la relación entre decimales y fracciones.

Ejemplo: 0.75 × 0.4 = 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 = 0.3

5. Números negativos

Signo del producto: si los signos son iguales, el resultado es positivo; si son distintos, negativo.

Ejemplo: (-2.5) × 0.4 = -1.0

6. Estimación y comprobación

Antes de calcular, redondea y multiplica para ver si el resultado está en la misma magnitud. También puedes usar la división inversa: resultado ÷ uno de los factores ≈ otro factor.

7. Errores comunes

• Olvidar contar correctamente los decimales.
• No añadir ceros cuando el resultado necesita más dígitos a la izquierda del decimal.
• No ajustar el signo cuando hay números negativos.

8. Ejemplos resueltos

Ejemplo 2

0.06 × 0.04

1. Como enteros: 6 × 4 = 24
2. Decimales: 2 + 2 = 4 lugares
3. Resultado: 0.0024

Ejemplo 3 (multiplicación larga)

4.125 × 2.3

1. Como enteros: 4125 × 23 = 94875
2. Decimales: 3 (4.125) + 1 (2.3) = 4 lugares
3. Resultado: 9.4875

9. Ejercicios prácticos (resuélvelos y comprueba)

1. 3.45 × 0.2 = ?
2. 0.125 × 0.04 = ?
3. 12.3 × 0.06 = ?
4. (-1.5) × 2.4 = ?
5. Multiplica 0.333 × 3 = ?

Respuestas

1. 3.45 × 0.2 = 0.69
2. 0.125 × 0.04 = 0.005
3. 12.3 × 0.06 = 0.738
4. (-1.5) × 2.4 = -3.6
5. 0.333 × 3 = 0.999

10. Consejos prácticos y atajos

• Si multiplicas por 0.5, es lo mismo que dividir por 2.
• Si multiplicas por 0.25, equivale a dividir por 4.
• Para operaciones con calculadora, cuenta los decimales al usarla como si fueran enteros sólo si la calculadora no maneja coma flotante — hoy en día no suele ser necesario, pero es útil entender el proceso manual.

11. Aplicaciones reales

La multiplicación de decimales aparece en cálculos monetarios (precios y descuentos), medidas (metros, litros), proporciones y ciencia.

Conclusión

Multiplicar decimales es una extensión directa de la multiplicación de enteros; la parte clave es contar correctamente los lugares decimales y colocar el punto decimal en el resultado. Practica con diferentes ejemplos y usa estimaciones para verificar.

Identidades Logaritmicas

Identidades Logarítmicas

Las identidades logarítmicas son un conjunto de propiedades fundamentales que permiten simplificar, transformar y resolver expresiones con logaritmos. Estas reglas se utilizan en álgebra, cálculo, física, estadística, ciencias de la computación y muchas otras áreas donde aparecen relaciones exponenciales.

Comprender estas identidades te permitirá manipular logaritmos con facilidad y resolver problemas más avanzados de forma más eficiente.

¿Qué es un logaritmo?

El logaritmo de un número representa el exponente al cual debemos elevar una base para obtener ese número. De esta definición se desprenden todas las identidades que veremos a continuación.

Si a^x = b, entonces log_a(b) = x.

Identidades logarítmicas fundamentales

Estas son las reglas más importantes que gobiernan el comportamiento de los logaritmos. Cada una puede derivarse directamente de las leyes de los exponentes.

1. Identidad del producto

log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)

Esta identidad nos dice que el logaritmo de un producto se convierte en la suma de los logaritmos.

2. Identidad del cociente

log_a(x / y) = log_a(x) − log_a(y)

El logaritmo de una división se transforma en la resta de los logaritmos.

3. Identidad de la potencia

log_a(xⁿ) = n · log_a(x)

Una potencia dentro del logaritmo puede colocarse como multiplicador fuera de él.

4. Identidad de la raíz

log_a(√[n]{x}) = \(\frac{1}{n}\) · log_a(x)

Como la raíz es una potencia fraccionaria, esta propiedad es una consecuencia directa de la identidad anterior.

5. Logaritmo de 1

log_a(1) = 0

Esto es cierto porque cualquier número elevado a la potencia cero da como resultado 1.

6. Logaritmo de la base

log_a(a) = 1

Se cumple porque a¹ = a.

7. Cambio de base

log_a(x) = \(\frac{\log(x)}{\log(a)}\)

Esta identidad permite calcular logaritmos en cualquier base usando una calculadora.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Simplificar log₃(9x)

Aplicamos la identidad del producto:

log₃(9x) = log₃(9) + log₃(x)

Como 9 = 3², entonces log₃(9) = 2.

Resultado: 2 + log₃(x)

Ejemplo 2: Simplificar log_a(x² / y)

log_a(x² / y) = log_a(x²) − log_a(y)

Luego aplicamos la identidad de la potencia:

log_a(x²) = 2 ⋅ log_a(x)

Resultado: 2 · log_a(x) − log_a(y)

Ejemplo 3: Convertir log₅(20) a base 10

log₅(20) = \(\frac{\log(20)}{\log(5)}\)

Usando una calculadora:

log(20) ≈ 1.3010
log(5) ≈ 0.6990

Resultado ≈ 1.862

Importancia de las identidades logarítmicas

Estas propiedades permiten simplificar expresiones complejas, resolver ecuaciones logarítmicas, transformar modelos exponenciales y analizar fenómenos de crecimiento y decrecimiento. También constituyen la base para temas más avanzados como la derivación e integración de funciones logarítmicas.

Conclusión

Las identidades logarítmicas son herramientas esenciales en el estudio de los logaritmos. Dominar estas reglas permite entender mejor cómo se comportan las funciones exponenciales y logarítmicas, además de facilitar el análisis matemático en distintos campos de estudio.

Cálculo de logaritmos en cualquier base: explicación clara y ejemplos

Cálculo de los logaritmos en cualquier base

Los logaritmos son una de las herramientas matemáticas más poderosas y utilizadas en áreas como la física, la ingeniería, la informática, la estadística y, por supuesto, las matemáticas. Aunque muchos estudiantes están familiarizados con logaritmos en base 10 o en base e, es común encontrarse con logaritmos en bases distintas, y para ello existe un método universal que nos permite calcularlos fácilmente.

¿Qué es un logaritmo?

El logaritmo de un número es el exponente al cual debemos elevar una base para obtener dicho número. En otras palabras, si:

a^x = b

Entonces:

log_a(b) = x

Esto se lee como “logaritmo de b en base a”.

La importancia del cálculo de logaritmos en cualquier base

En muchos problemas reales, la base del logaritmo no es 10 ni e, sino un número arbitrario. Por ejemplo:

• log₂(x) en informática
• log₃(x) en secuencias y progresiones
• log_0.5(x) en procesos inversos

Por eso es fundamental conocer el método universal para calcular logaritmos con cualquier base.

Fórmula general para calcular logaritmos en cualquier base

La fórmula más utilizada es la llamada fórmula de cambio de base. Esta nos permite transformar un logaritmo de base desconocida a otra base que sí podemos calcular fácilmente, como la base 10 o la base e.

log_a(b) = \(\dfrac{\log(b)}{\log(a)}\)

Puedes usar cualquier base para los logaritmos del numerador y denominador: base 10, base e o incluso otra base arbitraria. El resultado siempre será el mismo.

¿Por qué funciona esta fórmula?

La razón se basa en la definición de logaritmo y en la conversión entre bases exponenciales. La relación entre las potencias de diferentes bases permite expresar un logaritmo en términos de otro. Esto hace que la fórmula de cambio de base sea universal y muy útil.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Calcular log₂(8)

Usamos la fórmula:

log₂(8) = \(\dfrac{\log(8)}{\log(2)}\)

Con una calculadora obtenemos:

log(8) = 0.9031
log(2) = 0.3010

log₂(8) = 3

Este resultado es lógico porque 2³ = 8.

Ejemplo 2: Calcular log₅(125)

log₅(125) = \(\dfrac{\log(125)}{\log(5)}\)

125 = 5³ → resultado = 3

Ejemplo 3: Calcular log₇(20)

log₇(20) = \(\dfrac{\log(20)}{\log(7)}\)

log(20) ≈ 1.3010
log(7) ≈ 0.8451

Resultado ≈ 1.538

En este caso, no existe un exponente exacto, pero la fórmula nos permite encontrar el valor decimal.

Propiedades fundamentales de los logaritmos

• Producto: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
• Cociente: log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y)
• Potencia: log_a(xⁿ) = n·log_a(x)
• Cambio de base: log_a(b) = \(\dfrac{\log(b)}{\log(a)}\)

Conclusión

Calcular logaritmos en cualquier base es un proceso sencillo gracias a la fórmula de cambio de base. Esta herramienta permite resolver problemas avanzados y comprender mejor el comportamiento exponencial de muchos fenómenos naturales y tecnológicos. Conociendo esta técnica, puedes trabajar con cualquier tipo de logaritmo sin importar su base.

La pendiente de una recta: definición, fórmula, ejemplos y cómo calcularla

Pendiente de una Recta: Definición, Fórmula e Interpretación Fácil

La pendiente de una recta es uno de los conceptos más importantes del álgebra y la geometría analítica. Permite conocer la inclinación, la dirección y la relación entre los cambios de las variables en un plano cartesiano. En este artículo aprenderás qué es la pendiente, cómo se calcula, cómo interpretarla y verás ejemplos claros paso a paso.

1. Definición de la Pendiente de una Recta

La pendiente es un número real que indica qué tanto se inclina una recta en el plano cartesiano. Representa el cambio vertical respecto al cambio horizontal. En otras palabras, nos dice qué tanto sube o baja la recta por cada unidad que avanza.

Si la recta sube de izquierda a derecha, la pendiente es positiva; si baja, es negativa; si es horizontal, la pendiente es cero; si es vertical, la pendiente es indefinida.

2. Fórmula de la Pendiente

Cuando tenemos dos puntos en el plano cartesiano:

P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂)

La pendiente se calcula con la fórmula:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Donde:

• m = pendiente
• y₂ - y₁ = cambio vertical (Δy)
• x₂ - x₁ = cambio horizontal (Δx)

3. Interpretación Geométrica

La pendiente representa la inclinación de la recta:

• m > 0: La recta sube.
• m < 0: La recta baja.
• m = 0: La recta es horizontal.
• No existe: La recta es vertical.

Además, la pendiente relaciona directamente los cambios entre x y y. Por cada unidad que avanza en x, la recta subirá o bajará m unidades en y.

4. Ejemplos de Cálculo de Pendiente

Ejemplo 1: Pendiente positiva

Dado P₁(2, 3) y P₂(6, 7):

m = (7 - 3) / (6 - 2)
m = 4 / 4
m = 1

La recta sube 1 unidad vertical por cada 1 unidad horizontal.

Ejemplo 2: Pendiente negativa

Dado P₁(-1, 4) y P₂(3, -2):

m = (-2 - 4) / (3 - (-1))
m = -6 / 4
m = -1.5

La recta baja 1.5 unidades por cada unidad que avanza.

Ejemplo 3: Pendiente cero

Dado P₁(1, 5) y P₂(4, 5):

m = (5 - 5) / (4 - 1)
m = 0 / 3
m = 0

La recta es completamente horizontal.

Ejemplo 4: Pendiente indefinida

Dado P₁(2, 3) y P₂(2, 6):

m = (6 - 3) / (2 - 2)
m = 3 / 0
→ Indefinida

La recta es vertical, por lo que no tiene pendiente definida.

Conclusión

La pendiente de una recta es fundamental para entender la forma, dirección e inclinación dentro del plano cartesiano. Su cálculo mediante la fórmula clásica te permite describir rectas, analizar funciones lineales y comprender relaciones entre variables. Dominar este concepto te ayudará en diversos temas posteriores del álgebra y la geometría analítica.

Distancia Entre Dos Puntos: Fórmula, Explicación y Ejemplos Paso a Paso

¿Qué es la distancia entre dos puntos?

La distancia entre dos puntos en un plano cartesiano es la longitud del segmento de recta que los une. Es una de las bases más importantes de la geometría analítica, ya que se utiliza para medir longitudes, analizar figuras geométricas, construir ecuaciones y resolver problemas en física, ingeniería y matemáticas.

La fórmula de la distancia entre dos puntos

Si tienes dos puntos en el plano:

P₁(x₁, y₁)

P₂(x₂, y₂)

La distancia entre ellos se calcula con la siguiente fórmula:

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Esta fórmula proviene del famoso Teorema de Pitágoras, ya que al trazar un triángulo rectángulo entre ambos puntos, la distancia que buscamos corresponde a la hipotenusa.

¿Por qué funciona la fórmula?

Para encontrar la distancia entre dos puntos, se mide qué tanto cambian las coordenadas en cada eje. La diferencia horizontal es:

(x₂ − x₁)

Mientras que la diferencia vertical es:

(y₂ − y₁)

Estas dos diferencias forman los catetos de un triángulo rectángulo, y al aplicar Pitágoras obtenemos la distancia total entre los puntos.

Ejemplo 1: Distancia entre dos puntos sencillos

Calculemos la distancia entre los puntos:

P₁(2, 3) P₂(7, 9)

Aplicamos la fórmula:

d = √((7 − 2)² + (9 − 3)²)

d = √(5² + 6²)

d = √(25 + 36)

d = √61

La distancia entre ambos puntos es:

d = √61 ≈ 7.81

Ejemplo 2: Distancia con valores negativos

P₁(−4, 1) P₂(3, −5)

d = √((3 − (−4))² + (−5 − 1)²)

d = √((3 + 4)² + (−6)²)

d = √(7² + 36)

d = √(49 + 36)

d = √85 ≈ 9.21

Aplicaciones de la distancia entre dos puntos

La distancia entre puntos es fundamental en muchas áreas:

• Medición de longitudes en coordenadas.
• Determinar el tamaño de figuras geométricas.
• Calcular diagonales y trayectorias.
• Uso en física para medir desplazamientos.
• Aplicaciones en mapas, GPS y navegación.
• Modelos matemáticos en ingeniería y robótica.

Conclusión

Calcular la distancia entre dos puntos es una habilidad esencial para comprender mejor la geometría analítica. La fórmula es sencilla, su aplicación es directa y resulta útil en múltiples situaciones reales. Con solo conocer las coordenadas de dos puntos, puedes determinar la longitud exacta del segmento que los une y resolver problemas más avanzados en matemáticas y ciencias.