Ejercicio Resuelto de Función Lineal: Pendiente, Ordenada al Origen y Ecuación de la Recta

La funcion lineal se representa en una grafica como una linea recta. Esta funcion se puede escribir de la siguiente forma;

respaldo

En donde (m) y (b) representan a dos constantes y (x) a una variable. M es la pendiente o inclinacion de la recta y b es el punto de interseccion de esta recta con el eje de las ordenadas o eje (y).

En el plano cartesiano, la ecuacion de una linea recta describe una linea con inclinacion 1/2 y que intercepta al eje de las y en 7/2.

Ejercicio resuelto: función lineal en el plano cartesiano

Ejemplo completo 

Ejercicio

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–1, 3) y B(2, 9). Luego interpreta la pendiente, la ordenada al origen y explica cómo se comporta la recta en el plano cartesiano.

1. Cálculo de la pendiente (m)

Usamos la fórmula general para la pendiente:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Identificamos los datos:

• x₁ = −1, y₁ = 3
• x₂ = 2, y₂ = 9

Ahora sustituimos:

m = (9 − 3) / (2 − (−1)) = 6 / 3 = 2

Interpretación: la recta aumenta 2 unidades en y por cada 1 unidad que avanza en x. Es una recta creciente.

2. Cálculo de la ordenada al origen (b)

La forma general es y = m x + b. Ya sabemos que m = 2. Sustituimos cualquiera de los dos puntos; usemos A(−1, 3):

3 = 2(−1) + b → 3 = −2 + b → b = 3 + 2 = 5

La ecuación de la función lineal queda:

y = 2x + 5

3. Tabla de valores

Para comprender mejor la recta, generamos algunos puntos sustituyendo valores de x en la ecuación:

x	y = 2x + 5
-2	1
-1	3
0	5
1	7
2	9

Puntos confirmados: A(−1, 3) y B(2, 9) aparecen en la tabla, lo cual verifica nuestra ecuación.

4. Interpretación geométrica 

La pendiente positiva indica que la recta sube hacia la derecha. Como m = 2, por cada paso horizontal de 1 unidad, la recta asciende 2 unidades en vertical.

La ordenada al origen (b = 5) significa que la recta cruza el eje Y en el punto (0, 5).

Visualizándolo sin dibujar: si partimos del punto (0, 5) y avanzamos 1 unidad hacia la derecha, subimos 2 unidades y llegamos a (1, 7). Si avanzamos 2 unidades, subimos 4 y llegamos a (2, 9). Y si retrocedemos 1 en x, bajamos 2 en y, pasando por (−1, 3). Así se forma mentalmente la línea.

5. Verificación directa

Comprobaremos que la ecuación y = 2x + 5 cumple exactamente con los puntos dados:

• Para A(−1, 3): 2(−1) + 5 = −2 + 5 = 3 ✓
• Para B(2, 9): 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9 ✓

Como ambos puntos satisfacen la ecuación, la solución es correcta.

6. Resultado final

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(−1, 3) y B(2, 9) es:

y = 2x + 5

La pendiente es 2, la recta es creciente, pasa por el eje Y en (0, 5) y cada avance de 1 unidad en x incrementa el valor de y en 2 unidades.

Conclusión

Este ejercicio muestra cómo obtener la ecuación de una función lineal a partir de dos puntos, cómo interpretar la pendiente y la ordenada al origen, y cómo imaginar la recta en el plano cartesiano únicamente mediante razonamiento textual.