Cómo Derivar la Fórmula Cuadrática Paso a Paso desde la Ecuación General

La fórmula cuadrática es una de las herramientas más útiles del álgebra y aparece constantemente en problemas de física, ingeniería, economía y ciencias en general. Sin embargo, muchos estudiantes solo la memorizan sin comprender de dónde proviene. En este artículo te mostraré cómo se deriva la fórmula cuadrática a partir de la ecuación general de segundo grado usando el método de completar el cuadrado. Verás que el proceso es claro, lógico y accesible.

Comencemos con la ecuación general:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

El primer paso consiste en asegurarnos de que el coeficiente del término cuadrático sea 1. Para lograrlo, dividimos toda la ecuación entre $a$, asumiendo que $a\mathrm{\ne }0$:

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Ahora movemos el término constante al otro lado:

$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

Para completar el cuadrado, tomamos el coeficiente de $x$, lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado:

$${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2}{4a^2}$$

Añadimos este valor en ambos lados:

$$x$$

El lado izquierdo ahora es un trinomio cuadrado perfecto:

$${(x+\frac{b}{2a})}^2$$

Para el lado derecho, convertimos todo al mismo denominador:

$$-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

La ecuación queda así:

$${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

Ahora aplicamos raíz cuadrada en ambos lados:

$$x$$

$$x$$

Como ambos términos tienen el mismo denominador, los agrupamos:

$$x$$

Y así obtenemos la famosa fórmula cuadrática, completamente derivada paso a paso a partir de la ecuación general.

Esta demostración muestra que la fórmula no es algo mágico ni arbitrario. Es resultado directo del proceso de completar el cuadrado, una técnica fundamental del álgebra que transforma expresiones para hacerlas más manejables y resolver ecuaciones de segundo grado de manera universal.

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