¿Qué es la Potenciación? Explicación Simple con Ejemplos

La potenciación: concepto, propiedades y ejemplos

La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces. Se usa para expresar multiplicaciones repetidas de forma compacta.

Definición

La potencia se escribe como an, donde:

• a es la base.
• n es el exponente (un número entero, natural o real según el contexto).

Significa multiplicar la base a por sí misma n veces:

an = a × a × a × ... × a (con n factores)

Casos particulares

• Exponente 0: Para toda base a ≠ 0, a0 = 1.
• Exponente 1: a1 = a.
• Exponente negativo: a-n = 1 / an, si a ≠ 0.
• Exponente fraccionario: a1/n representa la raíz n-ésima de a (si está definida).

Propiedades y reglas básicas

1. Producto de potencias (misma base):

   am · an = am+n

2. Cociente de potencias (misma base):

   am / an = am-n (si a ≠ 0).

3. Potencia de una potencia:

   (am)n = am·n

4. Producto con distinta base (mismo exponente):

   (ab)n = an · bn

5. Cociente con distinto base (mismo exponente):

   (a/b)n = an / bn (si b ≠ 0).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Potencia positiva

Calcular 34

Solución: 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

Ejemplo 2 — Producto de potencias

Calcular 23 · 24

Usando la regla: 23+4 = 27 = 128

Ejemplo 3 — Exponente negativo

Calcular 5-2

Solución: 5-2 = 1 / 52 = 1 / 25 = 0.04

Ejemplo 4 — Potencia de una potencia

Calcular (x2)3

Solución: x2·3 = x6

Ejercicios propuestos (con respuestas)

1. 25 = ? — Respuesta: 32
2. (32)4 = ? — Respuesta: 3⁸ = 6561
3. 100 = ? — Respuesta: 1
4. 7-1 = ? — Respuesta: 1/7 ≈ 0.142857

Consejos y errores comunes

• No confundir am+n con am + an. La suma de exponentes solo aparece al multiplicar potencias con la misma base.
• Cuando haya paréntesis, aplica primero la regla de potencia de una potencia: (a·b)n ≠ an + bn.
• Si el exponente es fraccionario, revisa que la raíz esté definida (ej. raíz par de número negativo no es real).

Aplicaciones

La potenciación aparece en física (leyes de proporcionalidad), informática (crecimiento exponencial), economía (interés compuesto), geometría (áreas y volúmenes) y otras muchas áreas donde es esencial expresar multiplicaciones repetidas de forma compacta.

Conclusión

La potenciación es una herramienta fundamental en matemáticas que facilita la escritura y el cálculo de multiplicaciones repetidas. Conocer las propiedades básicas permite simplificar expresiones y resolver problemas de forma efectiva.

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